(287-212)

Sirenski zov geometrije: Ne diraj moje krugove

Arhimedovi dokazi su toliko precizni da se mogu smatrati i strogim dokazima u savremenoj matematici
801 pregleda 4 komentar(a)
Ažurirano: 27.03.2019. 20:53h

Najveći matematičar antičkog svijeta bio je Arhimed (287-212). Njegovi radovi su jedan od važnih izvora integralnog računa i teorije mjere koji će početi da se razvijaju u Evropi devetnaest vjekova docnije. Fizičari ga slave kao jednog od najvećih fizičara. Otkrio je zakon poluge, prvi je aksiomatizovao jednu fizičku teriju (statiku) i napravio mehanička oruđa o kojima legende žive i danas. Otkrio je Arhimedov zakon hidrostatike.

Pomenimo i da je prvu analizu rješivosti algebarske jednačine trećeg stepena, i prvi veliki kombinatorni zadatak (koji je imao 17 152 rješenja) dao Arhimed.

"Bilo je više imaginacije u Arhimedovoj nego u Homerovoj glavi", rekao je Voltaire.

Arhimedov otac Fidija bio je matematičar i astronom. Sirakuza u kojoj se rodio Arhimed, bila je kosmopolitski grad u kojem su se govorili svi mediteranski jezici. Fidijin rođak Hijeron toliko se istakao u borbama Pirovih odreda protiv Rimljana da je poslije Pirovog odlaska natrag u Grčku uspio da prigrabi apsolutnu vlast u Sirakuzi. Pomogao je Arhimedu da nastavi školovanje u Aleksandriji, nakon što je u očevoj kući dobio dobro matematičko obrazovanje.

Arhimed je mogao zateći Euklida živog, ali je u svakom slučaju, učio od Euklidovih učenika. Nakon studija u Aleksandriji, ostatak života proveo je u Sirakuzi, gdje se posvetio matematici i bio Hijeronov savjetnik. Pisao je na živopisnom dorskom dijalektu tadašnjeg grkog jezika Sicilije u koji je bio ušao čitav niz latinskih riječi pod uticajem Rima čija je moć bila u usponu.

Plutarh opisuje Arhimedovu opčinjenost matematikom: “Nema osnova da se ne vjeruje onome što pričaju o njemu: da ga je geometrija privlačila kao neka sirena koja se nastanila u njegovom domu; stoga je zaboravljao i na hranu i na piće i zapostavljao svaku brigu o tijelu. Ako su ga primoravali da ide u kupatilo, on je tamo crtao na pepelu ognjišta geometrijske slike, a na vlastitom tijelu namazanom uljem, prutom je povlačio linije - toliko je bio zanesen ovom naukom i u tolikoj mjeri obuzet strašću prema muzama. Ali, mada je učinio toliko divnih otkrića, on je molio svoje rođake i prijatelje da na njegovom grobu ne bude predstavljeno ništa osim lopte upisane u valjak i natpisa (vjerovatno, u stihu, M. P.), koji bi ukazao koliko je puta opisano tijelo veće od upisanog. Međutim, njega i njegov grad (ukoliko je to zavisilo od Arhimeda) učinilo je nepobjedivim baš njegovo duboko poznavanje mehanike”.

Poznati Arhimedov zakon hidrostatike otkrio je dok se kupao u kadi. Legenda kaže da je Hijeron od Arhimeda zatražio da provjeri da li je zlatar napravio podvalu i u krunu koju je Hijeron naručio djelimično ugradio srebro a ne samo zlato koje mu je bilo plaćeno. Razmišljajući o problemu dok je ležao u kadi, Arhimed je shvatio da dva tijela iste težine (mase) ali od različitog materijala (različite gustine), imaju različite zapremine i zbog toga, kad se potope u istu tečnost, istisnu različite količine te tečnosti. Ovo omogućava da se ustanovi da li i koliko srebra ima u Hijeronovoj kruni. U oduševljenju, skočio je iz kade i go potrčao vičući: “Eureka” (otkrio sam)! i formulisao zakon: “Svako tijelo potopljeno u ma koji fluid, gubi prividno od svoje težine onoliko koliko je težak njime istisnuti fluid”.

Kada je otkrio zakon poluge, rekao je: “Dajte mi oslonac, podići ću Zemlju” i po ugledu na Euklidovu aksiomatizaciju geometrije, na samom početku naučničke karijere, aksiomatizovao je statiku. To je bio prototip za Galilejev naučni metod u fizici gotovo dva milenijuma docnije. Galilej je rekao da prirodne zakone u fizici (aksiome fizike) treba formulisati matematički, ali da mjerenje i eksperiment treba da budu izvor spoznaje, za razliku od antičkih Grka koji su često pokušavali da čistom spekulacijom – metafizikom, dođu do spoznaje prirode – fizike. Ovo stanovište porodilo je naučnu revoluciju XVII vijeka i modernu nauku.

Kada je otkrio zakon poluge, rekao je: “Dajte mi oslonac, podići ću Zemlju”

Razni izvori iz antičkog vremena govore o mnoštvu genijalnih Arhimedovih mehaničkih izuma o kojima on nije ostavio ni riječ. Vjeruje se da je razlog za to ukus toga vremena koji se formirao pod Platonovim uticajem, da je bavljenje izumima posao nižeg reda u odnosu na matematiku i filozofiju.

Diodor (I vijek p.n.e.) govori o mašini za zalivanje polja zvanoj puž, koju pokreće čovjek (rob) prostim hodanjem u mjestu, koju je Arhimed izumio dok je boravio u Egiptu. Ciceron u knjizi O republici govori o Arhimedovom nebeskom globusu, modelu planetarijuma napravljenom po Eudoksovom astronomskom sistemu, koji je Zemlju stavljao u centar kosmosa. (U radu Brojač zrna pijeska, koji je pisao za dvorsku zabavu, Arhimed rekapitulira i Aristarhovu heliocentričnu teoriju kosmosa, po kojoj se planete, uključujući i zemlju, obrću oko sunca, koju je Aristarh zastupao osamnaest stoljeća prije Kopernika.) Arhimed je napravio sfere s centrom u Zemlji po kojima su se kretala nebeska tijela, planete i zvijezde, uključujući Mjesec i Sunce. Cio sistem se pokretao na čekrk, koji se mogao lako obrtati rukom ili slabim mlazom tekuće vode.

Legenda kaže da je na principu poluge i čekrka Arhimed smislio razne mehaničke naprave i oružje. Polibije, Plutarh i Tit Livije opisuju rimsku opsadu Sirakuze 214 - 212. godine, u kojoj su premoćniji Rimljani predvođeni Marcel(us)om, jednim od najboljih vojskovođa koje je Rim imao, pretrpjeli velike gubitke, zahvaljujući tome što su Sirakužani raspolagali superiornim oružjem koje je konstruisao Arhimed. Napravio je katapulte - topove koji su na veliku daljinu bacali kamenje razne veličine, od sitnog do velikih blokova teških po nekoliko tona, "kljunove" koji su na protivnika kad se približi zidinama izručivali kamnje i olovo ili sa zidina Sirakuze hvatali protivničke brodove za pramce, podizali ih čekrkom i potapali.

Znao je da zraci poslati paralelno sa osom parabole, poslije odbijanja prolaze kroz žižu (kao kod današnjih paraboličnih antena), jer legenda kaže da je rimske brodove potapao i tako što je pomoću paraboličnih ogledala sakupljao veliku količinu sunčeve energije i usmjeravao je u jednu tačku broda. Tako je izazivao visoku temperaturu koja je bila u stanju da zapali drvo od kojeg su pravljeni tadašnji brodovi.

Marcel je po osvajanju grada izdao naređenje da mu dovedu naučnika, s namjerom da obezbijedi Arhimedovu pomoć u borbi protiv Hanibala. Legenda kaže da je jedan vojnik dolazeći kod Arhimeda nagazio na krugove koje je ovaj bio ucrtao u pijesku. "Ne diraj moje krugove" (Noli turbare circulus meos), uzviknuo je Arhimed i odgurnuo ga. Ovaj je potegao mač i probo Arhimeda.

Na razmeđu dviju matematičkih epoha

Matematika, pod nazivom geometrija, do Arhimeda se bila uobličila u samostalnu deduktivnu disciplinu u obliku koji nalazimo u Euklidovim Elementima. Eudoksov metod ekshaustije bio je završni čin u tom procesu jer je oslobodio matemtiku od atomizma (po kojem je kružnica pravilni mnogougao čija stranica je sićušni atom), kao posljednjeg relikta iz vremena kada je matematika sa metafizikom činila cjelinu. Jedan broj matematičkih tvrđenja koja su atomisti "izveli" iz svojih principa o ustrojstvu fizičkog svijeta dokazao je sam Eudoks (formule za površinu kruga, zapreminu valjka, zapreminu piramide i kupe).

Trebalo je dokazati i ostale formule za koje su atomisti imali svoje "dokaze" (obim kruga, veza između obima i površine kruga, formule za površinu elipse i omotača valjka i kupe) i započeti rješavanje problema koji nijesu bili dostupni ni atomistima.

Taj posao obavio je Arhimed. Otkrio je i dokazao niz tvrđenja koja su prije njega bila nepoznata, koja čine vrhunac antičke matemtike: površina parabolinog odsječka, dužina luka spirale, površina oblasti koja je ograničena spiralom, površina sfere, zapremina lopte, zapremina rotacionih tijela, i niz drugih.

Pri tom je uveo i metodsku novinu od dalekosežnog značaja. Izračunavanje površine i zapremine sprovodio je pomoću integralnih suma, koje u radu Konoidi i sferoidi primaju oblik Cauchyevih integralnih suma. Tako se u njegovim radovima nalazi zametak definicije Riemannovog integrala funkcije.

Iako antički Grci nijesu postavljali pitanje mjerljivosti neke figure, već samo kako izračunavati njenu površinu/zapreminu, Arhimedovi dokazi sa gornjim i donjim integralnim sumama lako se pretvaraju u savremene dokaze mjerljivosti (danas znamo da to svojstvo nemaju svi skupovi u ravni i prostoru). 

Arhimedovi dokazi sa gornjim i donjim integralnim sumama lako se pretvaraju u savremene dokaze mjerljivosti (danas znamo da to svojstvo nemaju svi skupovi u ravni i prostoru)

U rigoroznosti Arhimed prevazilazi sve svoje prethodnike. Njegovi dokazi su toliko precizni da se mogu smatrati i strogim dokazima u savremenoj matematici. Arhimed je prvi koji je ukazao da se neke stvari u matematici (geometriji) ne mogu dokazati polazeći od Euklidovih postulata i eksplicitno formulisao dodatne pretpostavke koje su bile nužne u njegovim razmatranjima. Takva je Arhimedova aksioma koja kaže da ako se proizvoljna duž uzme (nadodaje) dovoljan broj puta dobiće se duž veća od proizvoljne unaprijed zadate duži.

Arhimed se nije bavio tehničkim dotjerivanjima rezultata svojih prethodnika (kao prije njega Euklid i nakon njega Apolonije). Njegov neumorni um bio je posvećen problemima koji prije njega nijesu obrađivani. Sve što je Arhimed napisao je novo u odnosu na prethodnike. Kad je koristio neki njihov rezultat citirao bi autora. Tako su njegovi radovi i svjedočanstvo za istoriju nauke.

Teoreme koje uveliko nadmašuju ostale

Među antičkim matematičarima Arhimedovog vremena postojao je običaj, koji će ponovo biti u modi u renesansi, da kada neko dođe do novog rezultata on, prije nego što objavi dokaz, saopšti drugim matematičarima tvrđenje bez dokaza. Ako niko ne nađe dokaz, rezultat dobija na značaju, a autor na uvažavanju.

Tako aleksandrijski matematičar Dositej traži od Arhimeda da mu pošalje dokaz teoreme o kvadraturi (izračunavanju površine) parabolinog odsječka čiju je formulaciju ovaj bio poslao njegovom učitelju Kononu. Arhimed mu odgovara:

“Arhimed želi dobro zdravlje Dositeju. Saznavši da je moj bivši drug Konon umro, i da si mu kao i ja bio blizak, a uz to da si poznavalac geometrije, odlučio sam u svojoj žalosti izazvanoj gubitkom ne samo druga nego i izvrsnog matemtičara, da pošaljem tebi ono što sam mislio da pošaljem Kononu, geometrijsku teoremu kojom se ranije niko nije bavio, a koju sam ja sada istražio - prvo sam je otkrio pomoću mehanike a zatim je dokazao geometrijski. (…) Za dokaz ovog svojstva ja primjenjujem sljedeću pretpostavku (…) (ide formulacija Arhimedove aksiome) … Budi zdrav.”

I rad O sferi i cilindru Arhimed šalje Dositeju. Rezultati izloženi u tom radu, po ocjeni samog Arhimeda, spadaju u najznačajnija dostignuća grčke matematike. Prije svega, to su obrasci za površinu sfere i zapremine lopte. Ovi rezultati se po svojoj novini razlikuju od Eudoksovog rezultata o površini kruga. Eudoks je geometrijski (matematički) dokazao formulu za površinu kruga koju su ljudi hiljadama godina znali ali nijesu bili u stanju da je dokažu. Arhimed je i otkrio i dokazao formule za površinu sfere i zapreminu lopte koje su ljudi uzalud tražili hiljadama godina.

Nakon što citira glavne rezultate: 1. Sfera je jednaka četiri svoja velika kruga. 2. Lopta je jednaka 2/3 zapremine oko nje opisanog valjka. 3. U istom odnosu stoji i sfera prema omotaču opisanog valjka, Arhimed kaže:

“Razumije se, ova tijela su uvijek imala ova svojstva, ali ona su ostala nepoznata onima koji su izučavali geometriju prije mog vremena; niko od njih nije čak ni podozrijevao da su ova tijela međusobno samjerljiva. Stoga bez ustručavanja mogu da stavim ove rezultate naporedo sa mojim ranijim istraživanjima i sa Eudoksovim teoremama o tijelima. (…) Svako ko ima potrebnu sposobnost, moći će da ispita moja otkrića.”

Izgubljeni Arhimedov kod

Arhimedovi savremenici bili su fascinirani otkrićima koja im je on slao. Fascinacija je bila još veća kad bi im docnije poslao dokaze. Svaki dokaz je imao korak koji je nedvojbeno govorio da razmatranje i računanje sprovedeno u dokazu nije moglo biti ono koje je autora dovelo do otkrića, već da je taj korak smišljen na osnovu toga što je rezultat bio unaprijed poznat. Stoga su Arhimedovi dokazi izgledali kao da ih je neko više biće šapnulo Arhimedu.

Arhimed je do otkrića dolazio pomoću sopstvenog infinitezimalno - mehaničkog heurističkog metoda koji na početku karijere nije pominjao. Razlog da neko vrijeme krije svoj infinitezimalni metod, po svoj prilici bila je bliskost tog metoda sa atomizmom koji je u matematici bio odbačen. Kasnije, kad je njegov autoritet bio ogroman i neosporiv, svoj "nematematički" metod izložio je u jednom pismu svom mlađem prijatelju, rukovodiocu aleksandrijske biblioteke Eratostenu.

“Arhimed želi doboro zdravlje Eratostenu. Ja sam ti ranije poslao neke teoreme koje sam pronašao, pri čemu sam ti saopštio samo zaključke [formulacije], sa predlogom da ti sam nađeš dokaze koje ti privremeno nijesam saopštio. […]

Nalazeći da si, kao što sam već rekao, ozbiljan student i čovjek znatne eminencije u filozofiji, i obožavalac [matemtike], smatrao sam da je umjesno da ti u istoj knjizi iznesem i detaljno objasnim naročiti metod koji će ti poslužiti kao dobro pomoćno sredstvo za rješavanje nekih matematičkih pitanja pomoću mehanike. Uvjeren sam da je ova procedura isto tako koristna i pri dokazivanju teorema; mnoge su mi stvari prvi put postale jasne zahvaljajući mehaničkom metodu, iako ih je zatim trebalo dokazati geometrijski, jer metod koji iznosim ne daje stroge dokaze… Teoreme koje sam publikovao ranije pronašao sam ovim metodom. Mislim da je neophodno da ga [metod] izložim dijelom i zato što sam ranije već govorio o njemu i ne bih htio da kažu da su to bile prazne riječi, a dijelom i što će, uvjeren sam, to biti ne mala usluga matematici (podvukao M.P.). Predosjećam da će mnogi moji savremenici ili sljedbenici, ovim metodom kad se jednom uspostavi, biti u stanju da nađu nove teoreme koje meni još nijesu pale na pamet.”

Voljom istorije, stvari su tekle drugačije nego što je Arhimed planirao. Infinitezimalni metod, jedno od najznačajnijih dostignuća ljudskog uma, biće uspostavljen (razrađen) devetnaest stoljeća docnije. Eratosten nije bio matematičar, pa je Arhimedov infinitezimalni metod ostao da leži kao pismo u Eratostenovoj arhivi. S padom nivoa grčke matematike u doba prevlasti Rima, legenda o Arhimedu kao izumitelju potisnula je svijest o značaju Arhimedovih matemtičkih rezultata, pa matematičari nijesu poklonili pažnju sadržaju pisma. Tako je do matematičara Arhimedovo pismo Ertostenu došlo stotinama godina kasnije kao jedan manje poznat Arhimedov rad u mnoštvu netrivijalnih i za čitanje teških Arhimedovih djela.

Iako su arapski matematičari milenijum nakon Arhimeda preveli njegovo pismo Eratostenu i objavili ga pod naslovom Metod, Arhimedov infinitezimalni metod je ostao neosvojen. U srednjem vijeku Metod se zagubio. Stoga ga nije bilo ni u prvom prevodu Arhimeda sa grčkog i arapskog na latinski jezik iz 1296. godine, ni u kasnijim boljim renesansnim prevodima, pa su evropski matematičari stotinama godina čitali Arhimeda ne znajući za ovaj rad.

Voljom istorije, stvari su tekle drugačije nego što je Arhimed planirao. Infinitezimalni metod, jedno od najznačajnijih dostignuća ljudskog uma, biće uspostavljen (razrađen) devetnaest stoljeća docnije.

Zbog toga su Arhimedovi radovi njima bili teški. Viete se žali da je s teškoćom shvatio neke Arhimedove dokaze. Tvorci infintezimalnog računa u sedamnaestom stoljeću bili su frustrirani jer im je izgledalo da je Arhimed nešto od njih sakrio i takođe govore da je Arhimed težak za čitanje. Wallis u predgovoru Barrowvljevom prevodu Arhimedovih radova (1675) kaže: "Kao čovjek izvrsne pronicljivosti, on [Arhimed] je položio prve temelje skoro svih otkrića čijim razvojem se ponosi naš vijek", ali je "namjerno krio metod svojih rješenja". I deset godina kasnije (1685) Wallis ponvalja da nije jasno kako su antički matemtičari (misli na Arhimeda) dolazili do rezultata koje su potom dokazivali.

Tvorci infinitezimalnog metoda u sedamnaestom vijeku koji je promijenio ljudsku istoriju, morali su da otkriju svoj infinitezimalni metod (različit od Arhimedovog utoliko što u njemu nijesu koristili mehaniku) i od njega naprave infinitezimalni račun. Bitan razlog da razviju svoj infiitezimalni metod bila je potreba da objasne sebi kako je Arhimed mogao doći do svojih fascinantnih otkrića prije nego što je smislio precizne dokaze formula koje je otkrio.

Kepler je prvi naslutio sadržaj Arhimedove heuristike i nekom vrstom infinitezimalnog rezonovanja dobio formule za izračunavanje zapremine jednog broja (relativno jednostavnih) tijela kojima se Arhimed nije bavio. Prvi koji je shvatio da treba tehnički razviti infinitezimalni metod da bi se otišlo dalje od Arhimeda bio je Bonaventura Cavalieri (1590-1647). Galilei ga je zbog toga u svojim pismima nazivao "novim Arhimedom" i "Arhimedovim supranikom". Cavalieri je uvidio da je nemoguće matematiku učiti i razvijati Arhimedovim (njemu je izgledalo) ad hoc dosjetkama, pa od samog početka svoje Geometrije nedjelivih (1635) traži opšte metode kvadratura uvodeći tipizaciju zadataka. Iz radova Huygensa, Stevina, Torricellia, Fermata, Pascala i drugih vidi se da su svi kretali od Arhimeda. Cavalierieva Geometrija nedjeljivih bila je toliko uspješna da se nakon njenog objavljivanja smanjuje potreba za čitanjem komplikovanog Arhimeda. Poslije Geometrije nedjeljivih osnovni oblik infinitezimalne površine kod kod njih je oblika f(x)dx, tj. površina pravougaonika čija je osnivica beskonačno mala dx (oznaka Leibnizova) a visina f(x).

Preteča integralnog računa

Zahvaljujući tome što se Metod izgubio, Arhimedovi radovi odgrali su dvostruku ulogu u razvoju matematičke analize. S jedne strane, inspirisali su matematičare sedamnaestog stoljeća da stvore svoj infinitezimalni metod koji bi im omogućio da dolaze do rezultata kao i Arhimed koji je svoj metod otkrića, kako su oni mislili, sakrio. S druge, Arhimedovi radovi bili su preteča procesa rigorozizacije analize, transformacije infinitezimalnog računa u integralni račun, koja je počela u prvim decenijama devetnastog vijeka.

Bourbaki smatra da je odsustvo standardizacije u Arhimedovom izračunavanju integralnih suma razlog što se u antičko vrijeme integralni račun nije razvijao sistematski. Budući da stari Grci nijesu raspolagali koordinatnim metodom, razmatrali (definisali) su samo 13 krivih i gotovo da je bilo neprirodno razvijati opšti metod za tako male potrebe. Nije jasno ni kako bi se opšti metod formulisao bez algebarskih oznaka i Dekartesovog koordinatnog metoda. Arhimedova inventivnost je fascinantna i malo je zadataka koji su se mogli formulisati u njegovo vrijeme a da ih on nije riješio ili da se njesu mogli riješiti kombinacijom njegovih rezultata. Zbog toga hiljadu i devet stotina godina niko nije napravio ni korak dalje od Arhimeda u razvoju matematičke analize. Veliki matematičari tako duge epohe su pravili prodor u drugim oblastima matematike, u kojima je obim primjene matematičke analize mali. Ovo pokazuje da postoji prirodni put razvoja ideja. Matematičari su morali iznova otkriti infinitezimalni metod za pronicanje u suštinu stvari, pa tek stoljeće i po nakon toga uvesti integralne sume i integral kao njihovu graničnu vrijednost, slično tome kako je činio Arhimed.

Razni izvori iz antičkog vremena govore o mnoštvu genijalnih Arhimedovih mehaničkih izuma o kojima on nije ostavio ni riječ. Vjeruje se da je razlog za to ukus toga vremena koji se formirao pod Platonovim uticajem, da je bavljenje izumima posao nižeg reda u odnosu na matematiku i filozofiju

Lopta i valjak na grobu

Za vrijeme svog boravka na Siciliji ja sam se sa radoznalošću raspitivao o Arhimedovom grobu u Sirakuzi. Ali se pokazalo da su ovdašnji ljudi tako malo znali o tome da su čak tvrdili da od njegovog groba tobož nije ostalo ni traga. Međutim ja sam nastavio da tragam sa takvom usrdnošću, da sam najzad uspio da pronađem njegov nadgrobni spomenik u trnju i čičku.

Uspio sam da ga pronađem zahvaljujući stihovima za koje sam znao da moraju biti uklesani na spomeniku, kao i zahavaljujući crtežu lopte i valjka koji se morao nalaziti iznad stihova. Izišavši iz sirakuške kapije našao sam se u pustari pokrivenoj mnogobrojnim grobovima; pažljivo sam gledao na sve strane i odjednom sam spazio mali stub čiji vrh se uzdizao iz kopriva; na njemu su bili predstavljeni lopta i valjak koje sam tražio.

Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da je pred nama besumnje Arhimedov nadgrobni spomenik. I zaista, čim su ljudi koje su pozvali isjekli korov i prokrčili nam put i mi se približili ovom stubu, vidjeli smo u njegovom podnožju natpis. Dio uklesanih stihova mogao se još pročitati, sve ostalo je izbrisalo vrijeme. I tako, jedan od najslavnijih gradova Grčke, koji je nekada svijetu dao toliko naučnika, nije više znao čak ni gdje se nalazi grobnica najgenijalnijeg njenog građanina, sve dok se nije pojavio čovjek iz malog grada Arpina da bi im pokazao taj grob! (Ciceron, I stoljeće n. e.)

Arhimedov kod

Privatni docent petrogradskog univerziteta Papadopulo Keramej našao je 1906. godine u biblioteci jednog jerusalimskog manastira jedan palimpsest, na kojem je hrišćanski tekst pisan preko nekog ostruganog grčkog teksta iz desetog vijeka. Papadopulo nije bio matematičar, ali je u katalogu jerusalimske biblioteke naveo mali citat iz lako čitljivog starijeg teksta. Čuveni danski istoričar matematike Hajberg je naišao na ovaj citat i odmah shvatio da se radi o citatu iz Arhimeda.

Pročitao je cijeli stari tekst i objavio ga. Tu se nalazilo i ono izgubljeno pismo Eratostenu, odnosno Metod. Istoričari matematike su pismu dali ime Poslanica Eratostenu. U novije vrijeme koristi se i naziv Arhimedov kod (Arhimedova šifra za čitanje njegovih radova). Kad su pročitali Metod, matematičari dvadestog vijeka bili su iznenađeni činjenicom da je Arhimedov mehanički metod uopštenje Cavalierievog metoda koji je ovaj formulisao devetnaest stoljeća kasnije, a da nije znao za Arhimedov infinitezimalni metod: Ravna figura se sastoji iz duži kao tkanina iz vlakana, a tijelo iz ravnih presjeka kao knjiga iz listova.

Ovo sastavljanje je neka vrsta sumiranja (neprebrojivo mnogo sabiraka) kakvog nema u matematici. Jer, površina i zapremina jedne duži jednaka je nuli; nije moguće definisati sabiranje koje bi imalo svojstvo da je suma ovih nula različita od nule. Tvorci infinitezimalnog računa razvijali su tehniku za obavljanje tog nepostojećeg “sabiranja”.

"Suma" infinitezimalnih pravougaonika f(x)dx na intervalu [a,b], davala je površinu ispod grafika funkcije y>f(x). Arhimed je srodno “sumiranje” obavljao tako što je infinitezimalnom pravougaoniku pripisivao težinu i primjenjivao zakon poluge.