PLATON, OSNIVAČ FILOZOFIJE MATEMATIKE (2.)

Matematika postoji prije stvaranja svijeta

Geometrija ne "ne sadrži ništa od čulnog", već je "spoznaja onoga što je vječno". Stoga do znanja o matematičkim pojmovima, kao i do znanja o svim idejama, dolazi se otkrićima, a ne izumima
497 pregleda 0 komentar(a)
Platon (novina)
Platon (novina)
Ažurirano: 21.05.2019. 13:04h

(Nastavak od prošle subote)

Platon dokazuje da stvari  po sebi postoje, ali nijesu u stvarnosti koju registriju čula. Ispod svakog mnoštva sa zajedničkim svojstvom postoji jedno u kojem mnoštvo nalazi razlog svog postojanja. Sokrat u Republici objašnjva da mi govorimo o lijepoj liri i o lijepoj posudi, a da nijesmo definisali lijepo. Neka stvar je lijepa zato što postoji nešto što lijepim stvarima daje ljepotu. Stvar nije lijepa po sebi, već zato što učestvuje u lijepom po sebi (Fedon).

"Ljepota na bilo kojem tijelu je sestra ljepote na drugom tijelu, i da bi, ako treba ići za ljepotom u opštem obliku, bilo veliko bezumlje ne misliti da je ljepota na svim tijelima jedna i ista“ (Republika).

"Jasno je da stvari po sebi imaju izvjesno permanentno biće koje niti se odnosi na nas, niti od nas zavisi. One [stvari po sebi] ne dopuštaju da ih u svojoj mašti vučemo tamo-amo; postoje za sebe, po svom vlastitom biću i u skladu sa svojom prirodom“ (Kratilo). To permanentno biće za svaku stvar je ideja o toj stvari, to jest svakoj od množinskih stvari odgovara njena ideja. Ideje postoje nezavisno od realnog svijeta i nas u njemu.

"Mi tvrdimo da postoji lijepo po sebi, dobro po sebi“ (Republika).  Ideje se u realnom svijetu vide kao množina stvari koje se prepoznaju u toj ideji. „Lijepo je lijepa djevojka“, kaže Hipija (Hipija veći).

"Onaj čovjek koji uviđa postojanje apsolutne ljepote i koji je u stanju da poima tu ljepotu i opaža stvari koje u njoj imaju udjela, a ne brka te stvari sa lijepim, ni lijepo sa tim stvarima“ je spoznao šta je ljepota. Dok se "množinske stvari vide a ne poimaju, dotle se ideje poimaju a ne vide“ (Republika). Filozof je taj čiji je zadatak da na osnovu vidljive stvarnosti dođe do poimanja nevidljivih ideja.

Alegorija pećine

U Republici, na početku knjige VII, nalazi se jedan od najčuvenijih Platonovih tekstova o idejama i spoznaji,  poznat pod nazivom Alegorija pećine. Sokrat traži od Galukona da zamisli grupu ljudi koji su cio život vezani leđima za zid podignut u mračnoj pećini iza kojeg na izvjesnom rastojanju gori vatra koja baca svjetlost na zid pećine ispred njih prema kojem su uprti njihovi pogledi. Između vatre i zida na koji je grupa naslonjena prolazi kolona ljudi koji nose razne figure ljudi i životinja koje nadvisuju zid. Na zidu pećine ispred zatvorenika pojavljuju se sjenke figura koje nose ljudi koji se kreću. Te sjenke su stvarnost koju vide zatočenici. Filozof je u poziciji sličnoj zatvorenicima; na osnovu sjenki formi koje zapaža čulima treba da shvati kako stvarno izgledaju forme. Sokrat kaže da ako se zatvorenici oslobode i izađu iz pećine, sunčeva svjetlost će ih zaslijepiti. Većina njih će željeti da se vrati u pećinu; oni koji izdrže dok se oči ne naviknu (filozofi) spoznaće svijet stvarnih formi - ideja.

Platon nije objasnio kako će se zatočenik osloboditi i izaći iz pećine u svijet originala - ideja, ali na nizu konkretnih primjera dokazuje da su ideje i znanja o idejama, kao što su matematički pojmovi i pojam vrlina,  urođeni čovjeku, tj. da su zapretani u našem (prednatalnom) sjećanju koje se može probuditi; čovjek ih otkriva istraživanjem i učenjem koji su vrsta prisjećanja - oporavka od natalne amnezije. Stoga se do ideja dolazi mentalnim uvidom - otkrićima.

Rješenje moralnog problema 

Teoriju ideja Platon je primijenio i na etički problem. Odbacio je stanovište sofista da je „pravedno ako jači vlada slabijim i ako posjeduje više“ (Kalikle u Gorgiji) i da je bolje počiniti nepravdu nego je pretrpjeti (Art br. 746). Smatra da dobro nije mjera pojedinca, već da je dobro ono što povezuje sve ljude i omogućava postojanje zakona koji važe za sve članove društva (Zakoni IV). Peripatetičar Aristoksen (oko 335  p.n.e.) kaže da je Platon tvrdio: „Dobro je jedno“, tj. da postoji dobro po sebi - ideja o dobru na osnovu koje se sudi o dobru u konkretnom činu. Platon slijedi Sokrata i etički problem svodi na problem saznanja - kako spoznati ideju o dobru.

Kant je u knjizi Kritika čistog uma (1781) unapredio Platonovu teoriju ideja dostignućima naučne revolucije sedamnaestog vijeka i napravio nezaobilaznu teoriju saznanja. Kant smatra da postoje dva opažaja urođena čovjeku - prostor i vrijeme -  pomoću kojih se na osnovu iskustva formulišu matematičke aksiome i prirodni zakoni. O tome ćemo govoriti drugom prilikom. Kant je u svojoj etičkoj teoriji dao  takođe i završnu formu Platonove moralne teorije. Po Kantu postoji moralni zakon urođen ljudima, Kant ga je nazvao  kategorički imperativ, saglasno kojem je konkretni čin pojedinca dobar ako ga ovaj vrši na osnovu racionalne odluke zbog toga što to što čini smatra svojom dužnošću, a ne zbog želje (da se istakne) ili zbog (sa)osjećanja.

Platonova filozofija matematike

U okviru svoje teorije saznanja Platon je razradio prvu filozofiju matematike. On smatra da su matematički pojmovi (objekti) u svijetu ideja i kao takvi prirođeni su ljudskom umu prije iskustva. Kad govorimo o broju 2 ne moramo pitati „čega dva“, jer, kako stoji u Republici:  „[Aritmetika] dušu snažno uzdiže k višoj sferi i tjera je da razmišlja o brojevima po sebi, ne dopuštajući da u njena razmišljanja neko uvodi brojeve koji  predstavljaju vidljive i opipljive predmete. [...] [Matematičari] govore o brojevima koji se mogu dokučiti jedino mišljenjem, i sa kojima se ne može baratati ni na koji drugi način.“ Ovo važi i za geometriju. Geometrija ne izučava figure koje opažamo čulima, već ideje na koje figure liče i na koje samo aludiraju: „Na primjer, oni [matematičari] razmišljaju o kvadratu po sebi, o dijagonali po sebi, a ne o dijagonali koju povuku, i isto to treba reći za sve druge figure. Sve te figure koje oni naprave ili nacrtaju, koje bacaju sjenku i proizvode slike u vodi, oni ih upotrebljavaju kao da su one takođe slike, da bi uspjeli da vide one više predmete koje opažamo jedino putem mišljenja“. 

Geometrija ne "ne sadrži ništa od čulnog“, već je „spoznaja onoga što je vječno“. Stoga do znanja o matematičkim pojmovima, kao i do znanja o svim idejama, dolazi se otkrićima, a ne izumima.

Pošto matematički pojmovi pripadaju svijetu ideja, sticanje matematičkih znanja je, u stvari, naše prisjećanje o matematičkim idejama. Sokrat to objašnjava u dijalogu Menon. Menon pita Sokrata šta ima u vidu kad kaže da mi ne učimo ništa, već da učenjem nazivamo prisjećanje? Da bi mu objasnio, Sokrat poziva jednog dječaka, Menonovog roba, i s njim počinje da razgovara o površini kvadrata. Dječak u početku misli da se površina kvadrata poveća dvaput kad mu se stranica poveća dvaput. Sokrat kaže Menonu da primijeti da on samo postavlja pitanja dječaku, a da ga ničemu ne uči. Tražeći odgovore, dječak ispravlja greške u svom rezonovanju i napreduje do zaključka da je kvadrat nad dijagonalom datog kvadrata dvaput veći od polaznog kvadrata. Sokrat, na kraju, smatra da je pokazao Menonu da se geometrijska znanja stiču dozivanjem iz našeg sjećanja: „Tako, čovjek koji ne zna ima u sebi tačni sud o predmetu a da ne zna za to. ... Ovo znanje ne dolazi od učenja, već od propitivanja. ... Ili je onda on nekad stekao znanje koje sada ima, ili ga je uvijek posjedovao. Ako ga je oduvijek posjedovao, mora da je uvijek ovo znao; ako ga je s druge strane stekao ranije, to ne može biti u ovom životu“, jer ga u ovom niko nije učio geometriju. „Onda, ako ga nije stekao u ovom životu, nije li jasno da ga je posjedovao i naučio u neko drugo vrijeme? ... Kad nije bio u ljudskom obliku? ... I ako je znanje o stvarnosti oduvijek u našoj duši, moramo ... pokušati da otkrijemo - to jest, da se prisjetimo - onoga što znamo, ili (ispravnije) što ne pamtimo, u tom trenutku. ... Ono što ne znamo nikad ne možemo otkriti.“

Platonizam kao filozofija matemtike veoma je živ i danas,  jer većina matematičara smatra da ne smišlja nego otkriva pojmove i teoreme.  Matematički objekti postoje nezavisno od nas (i drugih inteligentnih bića) i našeg jezika, misli i čula; kao što postoje elementarne čestice i nebeska tijela, postoje brojevi i skupovi. Matematički entiteti su apstraktni, ne pripadaju (fizičkom) prostoru  i vremenu i nijesu promjenljivi tokom vremena. O savremenom platonizmu u matematici govorićemo drugom prilikom.

Platonova kosmogonija

(Kosmogonijom se naziva teorija o nastanku kosmosa i čulne stvarnosti). U Timeju, Platonovom „fizičkom romanu“, izložena je Platonova prirodna filozofija, odnosno Platonov mit o ustrojstvu kosmosa.  Timej kaže Sokratu: „Po mom mišljenju treba najprije izvršiti ovo razgraničenje: šta je vječno biće a nema postanka, a šta je pak ono što uvijek nastaje a nikad nije biće. Prvo je pomoću razuma logosa shvatljivo razumu budući uvijek jednako, drugo je pak pomoću nerazumskog čulnog opažanja dostupno mnenju jer nastaje i propada ne budući nikad stvarno. A opet, sve što postaje, nužno postaje djejstvom nekog uzroka, jer ništa bez uzroka ne može postati.“

Uzrok postanka je po Platonu bog, ali je on različit i od bogova iz grčke mitologije u koje su vjerovali Grci (za koje je Protagora u spisu O bogovima tvrdio da je „teško reći da li bogovi postoje ili ne postoje, jer je predmet složen, a život kratak“ i bio osuđen za bezbožništvo), i od boga tvorca u današnjim monoteističkim religijama, koji stvara svijet. Platonov bog tvorac Demijurg (demiurg=radnik majstor) je transcendentno savršeno i vječno biće koje nije stvaralo materiju, već je uveo red u primordijalni haos koji je vladao u materijalnom svijetu. Ne upuštajući se u detalje, rezime Platonove kosmogonije glasi:

- Neke stvari jesu (postoje) oduvijek, a da nikad nijesu nastale. - Neke stvari su nastale, a da nikad (prije toga) nijesu postojale. - Ako i samo ako neke stvari jesu oduvijek, one se poimaju (uviđaju) razumom i imaju racionalno objašnjenje. - Ako i samo ako neke stvari nastaju, one se poimaju (uviđaju) opažanjem. - Univerzum se opaža (vidljiv je i dodirljiv), pa je nastao. - Sve što je nastalo, nastalo je s nekim razlogom; ništa ne nastaje iz ničega i bez razloga. -   Kosmos je proizvod racionalnog i namjernog agensa - boga (tvorca) koji ga je uredio po ugledu na svijet ideja. - Pošto su predmet matematike ideje, matematika postoji prije stvaranja realnog svijeta iz haosa i učestvuje u njegovom stvaranju. Kako je u Platonovo vrijeme već bila usvojena geometrizacija matematike, Pitagorino “sve je broj“ Platon preuzima u obliku „tvorac je geometar“. Božanski majstor Demijurg je pri realizaciji projekta imitirao nepromjenljivi i vječni (savršeni) matematički svijet i strvorio realni svijet po idealnim matematičkim modelima.

Kosmičke figure (konfiguracije) Demijurg je ustanovio u obliku pet pravilnih poliedara koji su bili poznati pitagorejcima: Kub, tetraedar, heksaedar, oktaedar i ikosaedar. Platon je pravilne poliedre stavio u korespondenciju redom sa Empedokleovim elementima zemlja, vatra, vazduh, voda, a dodekaedar s kosmosom (jer ima 12 strana koliko i zodijak znakova). Otuda se pravilni poliedri često nazivaju Platonovim kosmičkim figurama (tijelima). I vezivanje četiri elemenata koji formiraju figure ostvaruje se po nekim matematičkim pravilima: „Tako bog, kada je počeo da sastavlja tijela u univerzumu, ova je napravio od vatre i zemlje. Ali nije moguće kombinovati dvije stvari kako treba bez treće koja djeluje kao veza koja ih drži zajedno. A najbolja veza je ona koja ostvaruje najbliže jedinstvo između nje same i onog što povezuje; a ovo se najbolje može učiniti pomoću neprekidne geometrijske proporcije. [...] Tako je bog stavio vodu i vazduh između vatre i zemlje, i učinio ih je, koliko god je moguće, proporcionalnim jedno prema drugom, tako da je vazduh prema vodi kao voda prema zemlji; i zbog toga je ograničio svijet u vidljivu i dodirljivu cjelinu. [...]

Slika Platonovih tijela 

Učešće matematike u Platonovoj kosmogoniji poduprlo je kosmološke predstave i vjerovanja koja imaju trajan uticaj. Galilej i Descartes su razradom ove ideje zasnovali modernu metodologiju eksperimentalnih nauka: U eksperimentalnom iskustvu i rezultatima mjerenja treba prepoznati pojavne oblike prirodnih zakona koji se formulišu u matematičkim relacijama. Ova Platonova ideja (koju je on naslijedio od Pitagore) pokazala se kao jedna od najplodotvornijih ideja za ljudsku spoznaju.

Matematika jača um, a gimnastika tijelo

Značaj koji su Pitagorejci davali matematici u odnosu na druge intelektualne discipline, Platon je učinio tradicijom Zapada. Budući veoma uticajnim, doprinio je utemeljenju matematike u  obrazovanje i kulturu. Iznad ulaza u Platonovu Akademiju, tokom devet stotina godina njenog trajanja, pisalo je: „Neka ne ulazi ovdje onaj ko ne zna geometriju“. Smatrao je da je matematičko obrazovanje jača sposobnost uma u istoj mjeri u kojoj gimnastika jača tijelo. 

Aritmetika za vladara (Republika, Knjiga VII, govori Sokrat): „Možemo, tada, zasnovano uzeti da aritmetika bude predmet izučavanja onih koji treba da drže položaj ili odgovornost u našoj državi; i mi ćemo tražiti od njih ne da budu amateri u njihovom prilazu k aritmetici, već da se njome bave dok ne budu razumjeli, čistim mišljenjem, prirodu brojeva - ovi nijesu od koristi za čisto komercijalne kalkulacije, već  za rat i za lakšu konverziju duše iz svijeta nastajanja u svijet stvarnosti i istine.

Drugi razlog - jesi li primijetio da su oni koji su prirodno dobri u računanju skoro uvijek brzi u učenju svega ostalog, i kako oni sporog duha, ako se treniraju i upražnjavaju računanje, uvijek poprave brzinu, čak i ako nemaju drugu korist?  Ipak ja mislim da nema predmeta koji se teže daje onima koji ga izučavaju ili treniraju. ... Zbog svih ovih razloga, ovaj predmet moramo uzeti i koristiti ga za trening naših najsposobnijih građana. 

Geometrija za vladara: "Ona će  napravljati mozak prema istini i usmjeravati misli filozofa prema višim, umjesto prema svakodnevnim običnim poslovima. ... Ona takođe ima prilične sporedne prednosti; ... obezbjeđuje određenu sposobnost za učenje svih drugih oblasti u kojima znamo da su vodeći ovi što su izučavali geometriju.“ „Oni su kilometrima naprijed, on [Glaukon] se složi“.

Preporučujemo za Vas