MATEMATIČARI KOJI SU PROMIJENILI SVIJET

Sofisti dokazuju nedokazivo

Najznačajniji mislioci poznavali su se među sobom. U matematici je to značilo da su svi matematičari razmjenjivali ideje o pitanjima i zadacima značajnim za razvoj matematike
399 pregleda 4 komentar(a)
Atinska škola, Rafael, Foto: Wikimedia Commons
Atinska škola, Rafael, Foto: Wikimedia Commons
Ažurirano: 21.05.2019. 13:04h

Još u šestom vijeku p.n.e. ,  u vrijeme persijskih osvajanja na istoku, centar filozofskih i matematičkih aktivnosti se preselio iz Jonije u grčke gradove na Siciliji i jugu Italije. Nakon persijskih ratova (490 i 480 - 479 p.n.e.) u kojima su Grci pobijedili Persijance, centar se seli u Atinu. Počinje istorijska epoha koja se naziva klasična epoha grčke kulture. Tokom te epohe filozofija je promijenila težište svog interesovanja, zbog čega dolazi do razdvajanja matematike i filozofije. 

Periklovo zlatno doba

Pobjedom protiv Darija na Maratonu (490.) maloznačajna Atina stekla je veliki prestiž u grčkom svijetu. Deset godina docnije pripalo joj je da predvodi objedinjene pomorske snage grčkih gradova u pobjedi na moru protiv Darijevog sina Kserksa (480. p.n.e.). Na kraju, dok su se Spartanci držali samo svoje Sparte, Atinjani su pomogli Joncima da protjeraju Persijance. Tako je Atina iz persijskih ratova izašla kao predvodnik grčkog saveza. Ratnu flotu pretvorila je u trgovačku.

Pod vođstvom mudrog Perikla (495-429 p.n.e.) (perikle = ovjenčan slavom), koji je vladao slobodnom voljom atinskih građana od 460. do 429. godine, Atina je doživjela nezapamćeni kulturni i ekonomski procvat. U Atini, u vrijeme njenog na- jvećeg uspona, na kraju tridesetogodišnje Periklove vladavine, živjelo je približno 230.000 stanovnika, i mnogo manje od toga u okružajućoj ruralnoj Atici.

Patron umjetnosti Perikle prinuđivao je svoje sugrađane da i po 30.000 njih prisustvuje pozorišnim predstavama. Tako su Eshil (525-456 p.n.e.), Sofokle (496-406 p.n.e.) i Euripid (ca 485-406 p.n.e.), koji su se pojavili jedan za drugim u kratkom intervalu, svojim tragedijama obrazovali Atinjane u politici, religiji, ljudskim emocijama, etici. Aristofan (446-389 p.n.e.) se docnije nadovezao svojim satirama u kojima je izvrgavao podsmijehu političku demagogiju i intlektualnu prevrtljivost. Periklov program rekonstrukcije Akropolja koji je stradao u ratu sa Persijancima ostvario je Fidija. Kao državni arhitekta, od Atine je napravio najljepši helenski grad.

Uspon Atine prati rast tenzije između grčkih polisa. Godine 431. p.n.e. izbija Veliki peloponeski rat među njima, koji traje do 404. Tokom tog rata, atinska trgovina biva uništena, njena demokratija i kultura poljuljane, stanovništvo desetkovano epidemijom.

Ipak, u četvrtom vijeku, u Atini će stvarati Platon i Aristotel, što znači da je Atina tek poslije Peloponeskog rata dostigla svoj vrhunac u filozofiji.

Sofisti

Iz svih krajeva grčkog svijeta u Atinu se doselila grupa putujućih nastavnika- filozofa koji su živjeli od podučavanja drugih ljudi raznim znanjima. Nazvali su ih sofistima (= učitelji mudrosti). Osim što su podučavali druge, i sami su doprinosili razvoju znanja. Nijesu se svi filozofi okupljeni u Atini bavili podučavanjem za novac, i, u tom smislu, nijesu bili sofisti. Međutim, sofistima se nazivaju i filozofi predsokratovci okupljeni u Atini, koji su imali zajednički pogled na zadatak filozofije, različit od pogleda filozofa prirode.

Sofisti su smatrali da ljudi ne mogu da spoznaju istinu i nađu pouzdano objašnjenje prirodnih pojava (takvo filozofsko stanovište naziva se skepticizmom), pa su preusmjerili pažnju s filozofije prirode na pitanja koja se tiču čovjeka. Učili su da se korisno i beskorisno, dobro i zlo, ispravno i pogrešno, moraju vrednovati prema ljudskim potrebama (filozofski relativizam). Budući da čovjek mora živjeti u zajednici i sprezi s drugim ljudima, primarni zadatak za njih bilo je čovjekovo mjesto u društvu.

U politici i moralu možemo ih grupisati u dvije škole. Jedna, čiji sljedbenik je Jean-Jacque Rousseau (1712-1778), smatrala je da je čovjek dobar, a civilizacija loša; da se ljudi rađaju jednaki, ali institucije proizvode nejednakost; zakone formulišu jači da bi u lancima držali slabije; svrha religije je da se ljudi kontrolišu. Druga, čiji sljedbenik je Friedrih Nietzche (1844-1900), smatra da se ljudi rađaju nejednakima; da je moral izum slabijih da bi zaustavili jake; moć je vrhunska vrlina i najveća ljudska želja.

Stoga nema pravde osim u interesu jačih, pa su sofisti su usredsredili interes na jezik, retoriku, obrazovanje i socijalnu filozofiju, da bi svoje učenike učinili sposobnijim za život u društvu.

Jedan broj sofista bavio se filozofijom prioritetno s lukrativnim ciljem. Takvi su često bili nekreativni i slabo utemeljeni u onom što su zastupali i predavali, pa su navukli prezir učenih savremenika i nepovjerenje u sofiste kao profesiju.

Stoga je termin sofista primio i dodatno značenje - mudrijaš; termin sofizam - pogrešno, prividno ispravno, rasuđivanje čiji cilj je da prevari slušaoca.

Tri klasična geometrijska problema

Život u Atini ličio je na savremeni univerzitetski centar u kojem vodeći profesori imaju svoje istraživačke seminare. Najznačajniji mislioci poznavali su se među sobom. U matematici je to značilo da su svi matematičari razmjenjivali ideje o pitanjima i zadacima značajnim za razvoj matematike.

Nemoć matematičara da unutar matematike/geometrije daju dokaz niza tvrđenja koje su ”dokazali” atomisti, proizvodila je neku vrstu permanentne krize matematike. Rasla je potreba da se standardizuje sistem aksioma i sva poznata geometrijska tvrđenja izvedu unutar geometrije, ali je to potrajalo do Eudoksa i Euklida. U međuvremenu, sofisti su pokušavali da riješe tri problema koji su ušli u masovnu modu.

Ovi problemi su se ustalili kao kulturni fenomen koji će okupirati pažnju ljudi narednih 2300 godina. To su problemi: kvadrature kruga, trisekcije ugla i dupliranja kuba.

a) Problem kvadrature kruga

Pitanje tačnog izračunavanja površine kruga ne rješava formula A(r) = pi x r na kvadrat, pi= A(1), koju su znali Vavilonci. Kad su uzimali  pi= 3 i p= 3 i 1/8 znali su da su to samo približne vrijednosti. Stari Grci su (kao i Vavilonci) shvatali da se proces nalaženja sve tačnije aproksimacije veličine π   racionalnim brojevima produžava ad infinitum, upisivanjem u krug pravilnih mnogouglova sa sve većim brojem stranica. Zbog ove računske ”neuhvatljivosti” broja π, oni su problem izračunavanja površine kruga formulisali i u geometrijskim terminima: Odrediti kvadrat koji je jednak datom krugu. U ovoj formulaciji problem je poznat kao problem kvadrature kruga.

Zahtjev u početku nije bio ničim ograničen. Kad nijesu mogli da problem riješe geometrijski, ljudi su pokušavali da naprave razne mehaničke pribore pomoću kojih bi dobili stranicu traženog kvadrata.  Atinski komediograf Aristofan (ca 448-385) u svojoj komediji Ptice iz 414. p.n.e. pominje problem kvadrature kruga u kontekstu iz kojeg se vidi da je krajem V vijeka taj problem opšte poznata stvar.

U njegovoj komediji Oblaci (423 p.n.e) pominju se mehanički pribori za geometrijske konstrukcije. Filozofi i matematičari su vodili koncepcijsku raspravu da li su, odnosno koji mehanički pribori su dopustivi u matematici. Platon (427-384) kaže: ”... ako nas [geometrija] prinuđuje da posmatramo postojanje, to je odgovarajuće; ako [prinuđuje] da posmatramo nastajanje, to je neodgovarajuće. Takvo je naše stanovište”. Ovo znači da matematika treba da bude nezavisna od mehanike i da se mehanički pribori koji mijenjaju konfiguraciju s protokom vremena ne mogu prihvatiti za obavljanje geometrijskih konstrukcija.

Iz mnoštva mogućih pribora koji zadovojvaju ovaj uslov, tokom vremena izdvojeni su šestar i lenjir i termin odrediti u geometriji je dobio značenje - konstruisati šestarom i lenjirom. Nije poznato kada je to ograničenje postalo opšte prihvaćeno. Činjenica da sve konstrukcije u Elementima Euklid Aleksandrijski obavlja šestarom i lenjirom može se smatrati dokazom da je tradicija počela da se formira prije Euklida, tj. u Atini.

Razlog da se prednost da lenjiru i šestaru, najvjerovatnije leži u tome što su prave i krugove predsokratovci smatrali najprostijim i savršenim formama sa specijalnom ulogom u ustrojstvu svijeta. Stanovište da prave i krugove treba smatrati prostim elementima u geometrijskim konstrukcijama, ostalo je i nakon renesanse. Newton u Principijama kaže: ”Opisati prave i krugove je problem, ali nije geometrijski problem.” Pap (IV vijek) kaže da korišćenje pribora komplikovanijih od šestara i lenjira za geometrijske konstrukcije znači impotenciju geometrije.

b) Trisekcija ulga

Tokom petog stoljeća p.n.e. ustalio se i sljedeći problem: kako efektivno izdijeliti ugao na tri, ili više, jednakih uglova? Kao i za kvadraturu kruga, postepeno je formiran uslov da se do rješenja dođe primjenom lenjira i šetara. Rješenje je nađeno za neke rijetke specijalne slučajeve (kao što je ugao od 1800), ali niko nije nalazio neku opštu konstrukciju koja bi bila primjenljiva na svaki ugao.

c) Dupliranje kuba

Ovo je najpoznatiji antički problem.  Teon Aleksandrijski (kasni IV vijek n.e.) piše: ”U svom radu pod naslovom Platonicus Eratosten kaže, kada je bog objavio Delfšanima preko proročanstva da moraju da konstruišu duplo veći oltar od postojećeg da bi se oslobodili kuge, njihovi majstori su došli u veliku zabunu pokušavajući da nađu kako bi se moglo napraviti tijelo duplo veće od drugog tijela, pa su otišli k Platonu da njega pitaju. On im je rekao da je bog poslao ovo proročanstvo, ne zato što želi oltar duplo većih razmjera, već zato što hoće, stavljajući ovaj zadatak pred njih, da ukori Grke za to što su zapostavili matematiku i preziru geometriju”.

Na osnovu ove legende problem dupliranja kuba često se naziva delfski problem. Po Eutokiju, problem dupliranja kuba pojavio se prvi put ranije nego što je proročanstvo tražilo dvostruko povećanje oltara u Apolonovom hramu. Eutokije citira Eratostenovo Pismo kralju [caru] Ptolomeju:

”Eratosten kralju Ptolomeju, pozdrav. Priča kaže da je jedan od drevnih pjesnika tragičara predočio da je Minos izgradio grob za sina Glaukusa, ali kada je našao da grob ima sto stopa sa svake strane Minos reče: ’Ovaj grob je premali da bi bio kraljevsko mjesto za počinak. Neka bude dvaput veći. Ne kvareći formu samo dupliraj svaku stranicu groba’. Ovo je, jasno, bila greška. Jer ako se stranice dupliraju, površina se umnoži četvorostruko, a zapremina osmostruko. Onda su geometri takođe tražili način da se dato tijelo duplira ne mijenjajući njegov oblik.”

Hipokrat sa Kiosa: Prvi Elementi

Najprominenetniji atinski matematičar u petom vijeku bio je sofista Hipokrat sa Kiosa (460-380 p.n.e.), Demokritov savremenik. (Ne treba ga miješati sa slavnijim njegovim savremenikom Hipokratom sa Kosa, ljekarom i autorom čuvene Hipokra- tove zakletve, na koju se i danas svaki ljekar svečano obavezuje pri primanju diplome.) Oko 430. p.n.e. napustio je rodno ostrvce i uputio se u Atinu kao trgovac. Po jednoj anegdoti, na tom putu bio je opljačakan, pa je bio jedan od prvih koji je u Atini živio od časova iz matematike.

Napisao je knjigu iz geometrije Elementi, koja je više od stotinu godina prethodila slavnoj Euklidovoj knjizi sa istim nazivom. Većina istoričara matematike smatra da je u Hipokratovoj knjizi započeto sistematsko ređanje teorema od prostijih k složenijim, ali da Hipokrat nije uspio da izdvoji opšte prihvatljive aksiome od kojih bi počinjali dokazi svih geometrijskih tvrđenja.

Od Hipokrata problem dupliranja kuba živi i u formi zadatka: konstruisati dvije unutrašnje prorporcionale duži a i    2a, a : x = x : y = y : 2a.

Kad je pola stoljeća kasnije Menekmo otkrio konusne presjeke, ovo je značilo da se problem dupliranja kuba svodi i na zadatak: naći presječnu tačku konika xy = 2a na kvadrat i x na kvadrat = ay.

Hipija: Prva transcendentna kriva

Hipija (460-?)  sa Elisa je predavao i živio u gradu Elisu na sjeverozapadnom Peloponezu, ali je dvaput boravio duže u Atini. Platon ga opisuje kao ispraznog i arogantnog sofistu. Hipija je u matematici ostao upamćen po mehaničkoj definiciji prve u istoriji matematike transcendentne krive koja je nazvana trisektrisa i svodi diobu ugla na jednake djelove na diobu duži na jednake djelove. (Kriva u ravni naziva se algebarskom ako se u koordinatnom sistemu Oxy može opisati algebarskom jednačinom, tj. jednačinom oblika p(x, y) = 0, gdje je p polinom; kriva se naziva transcendentnom ako nije algebarska. Naziv dolazi od vis algebrae transcedeit, što znači da njeno opisivanje prevazilazi moć algebre.)

U antičko vrijeme nije se znalo za pojam transcendentne krive, pa se o Hipijinom izumu govorilo kao o prvoj krivoj koja nije odsječak prave ili luk konike, što je slabiji uslov od transcendentnosti.

Kad nije uspio da izvrši trisekciju ugla šestarom i lenjirom, ova kriva je trebalo da posluži kao jedna vrsta mehaničkog pribora za obavljanje trisekcije, zbog čega je i nazvana trisektrisom. Pap, u III vijeku naše ere navodi manu ove konstrukcije: ”Sporus je nezadovoljan sa ovim iz sljedećeg razloga. Prije svega, ono zbog čega je kriva konstruisana, sadržano je u hipotezi.”

Kad Sporus govori da je cilj sadržan u hipotezi, on ima u vidu da ima smisla govoriti o jednakosti duži i luka kruga koji se pojavljuju u definciji trisektrise, jedino ako smo već riješili problem nalaženja duži koja je jednaka luku. Stoljeće poslije Hipije Dinostrat(us) (ca 390-ca 320) je dokazao da se pomoću trisektrise može izvršiti i kvadratura kruga. Od tada trisektrisa nosi i naziv kvadratrisa.

2300 godina kasnije

Pošto matematičari stoljećima nijesu uspijevali da riješe problem kvadrature kruga, neki od njih su počeli da sumnjaju u njegovu rješivost, ali sve do druge polovine devetnaestog stoljeća matematika nije raspolagala aparatom koji bi omogućio da se to dokaže. Niti su do tog vremena matematičari naslućivali da odgovor treba tražiti u algebri i analizi.

Definicja. Realan broj a ≥ 0 zvaćemo konstruktibilnim ako u euklidskoj ravni postoji duž čija je dužina jednaka a, koja se konstrukcijama lenjirom i šestarom može dobiti od neke duži čija je mjera jednaka 1. Broj se naziva algebarskim ako se je nula polinoma čiji su koeficijenti racionalni. Može se dokazati da su konstruktivni brojevi algebarski.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939) je dokazao 1882. godine da je broj π nije algebarski, pa nije konstruktibilan. Pošto se problem kvadrature kruga svodi na konstrukciju broja π, slijedi da se šestarom i lenjirom ne može kvadrirati krug. Problem dupliranja kuba i svodi se na rješavanje jednačine x na treći = 2. Problem trisekcije ugla primjenom trigonometrijske formule o kosinusu trostrukog ugla svodi se takođe na algebarsku jednačinu trećeg reda sa racionalnim koeficijentima.

Primjenom rezultata do kojih je došla algebra u devetnaestom vijeku, krajem tog vijeka je dokazano da rješenja obje jednačine nijesu konstruktibilni algebarski brojevi. To znači da se trisekija ugla i dupliranje kuba takođe ne mogu obaviti konstrukcijama pomoću lenjira i šestara.

Intelektualna eksplozija koja je proizvela temelje civilizacije

Intelektualna atmosfera Periklove Atine privukla je mnoge umove iz helenskog svijeta (Jonija i Velika Grčka). Perikle se hvalio da je Atina postala škola Helade. Koncentracija intelektualne energije izazvala je intelektualnu eksploziju koja je proizvela temelje današnje evropske civilizacije. Riječi kao što su teatar, politika, demokratija, ekonomija, istorija, biologija, fizika, matematika, logika, teologija, filozofija, etika, estetika, psihologija, teorija, metod, ideja, sistem, i mnoge druge, dobile su u Atini u petom vijeku p.n.e. isto značenje koje imaju i danas.

Jedna od najvećih zagonetki istorije je kako je bilo moguće da mala populacija kakva je živjela u tadašnjoj Atini stvori tako grandiozna djela i porodi civilizaciju koja traje i danas. Nikada prije i nikada poslije toga, populacija od nekoliko stotina hiljada stanovnika nije mogla da stvori ni približno tako značajna djela u kulturi i civilizaciji. Neponovljivu atmosferu škole Helade ovjekovječio je Tukitid (471- 400 p.n.e.) u svojoj knjizi Istorija peloponeskog rata, a prenio na platno Rafael (1483 - 1520 p.n.e.) svojom slikom Atinska škola.

Preporučujemo za Vas